(*In this file, we identify the residual arrangement of a positive hexahedron in Gr(2,4)*)

h1[x1_, x2_, x3_, x4_, x5_, x6_]:=-3*x1+4*x2-x3-x4+3*x5-2*x6
h2[x1_, x2_, x3_, x4_, x5_, x6_]:=4*x1-6*x2+3*x3+2*x4-5*x5+2*x6
(*Positroid cells*)

(*top cell*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*CODIM 1*)
(*p23=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 = 0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p34=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*CODIM 2*)
(*p12 p13 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p23*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p24 p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]


(*CODIM 3*)
(*p12 p13 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p13 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*Cells with h1=0*)

(*Positroid cells*)

(*top cell*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*CODIM 1*)
(*p23=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 = 0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p34=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*CODIM 2*)
(*p12 p13 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p23*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&2*p12-p13+5*p23-p14+3*p24+p34>0],Reals]

(*p12 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p24 p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]


(*CODIM 3*)
(*p12 p13 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*p12 p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p13 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]
(*p12 p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0],Reals]

(*Cells with h2 = 0*)

(*top cell*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*CODIM 1*)
(*p23=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 = 0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p34=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14=0*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*CODIM 2*)
(*p12 p13 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14 p23*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p14*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14 p24 p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]


(*CODIM 3*)
(*p12 p13 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p14 p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p14 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p12 p13 p14 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p12 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p13 p14 p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p12 p13 p14 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]>0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*Cells with h1=h2=0*)
(*top cell*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p23*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p12*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]
(*p14*)
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Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p23 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p23 p24 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14>0 && p23==0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p23 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14>0 && p23==0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14 p23*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23==0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p34*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14>0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p14 p24*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p12 p13 p14*)
Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12==0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34>0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p13 p14 p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13==0 && p14==0 && p23>0&&p24>0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

(*p14 p24 p34*)

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]

Resolve[Exists[{p12,p13,p14,p23,p24,p34},p12>0&& p13>0 && p14==0 && p23>0&&p24==0&&p34==0&&p12*p34-p13*p24+p14*p23==0&&h1[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0&&h2[p12,p13,p23,p14,p24,p34]==0],Reals]