Example computation
We replicate here Example 6.4 using the code described in Code and implementation.
We begin by defining our polynomial ring and matrix
i1 : load "makingWaves.m2";
i2 : R = QQ[x_1..x_4];
i3 : A = matrix{{x_1,x_2,x_3},{x_2,x_1,x_4},{x_3,x_4,x_1}}
o3 = | x_1 x_2 x_3 |
| x_2 x_1 x_4 |
| x_3 x_4 x_1 |
3 3
o3 : Matrix R <--- R
This corresponds to the PDE
\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{\partial \phi_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_3} = 0\\\frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_4} = 0\\\frac{\partial \phi_1}{\partial x_3} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_4} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_1} = 0\end{aligned}\end{align} \]
for some distribution \(\phi \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C}^3\).
We can check that \(\mathcal{P}_A^0 = \mathcal{P}_A^1 = \emptyset\) using wavePairs(A,0) and wavePairs(A,1).
The first interesting case occurs when \(r = 2\).
i4 : I = wavePairs(A, 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2
o4 = ideal (p z + p z , p z + p z , p z + p z , p z + p z + p z , p z - p z , p z + p z , p z - p z , p z + p z - p z , p z - p z , p z - p z - p z , p z + p z , p z - p z , p p + p p , p p + p p , p p - p p , p p - p - p p + p , p p + p p , p - p - p p , p p - p p , p p - p p , p - p - p p , p p - p p , p p + p p , p - p , p p - p p , p - p , z z z , z z + z z - z , z z - z + z z , z - z z - z z )
1,3 3 2,3 2 0,3 3 2,3 1 0,3 2 1,3 1 0,3 1 1,3 2 2,3 3 1,2 3 2,3 1 1,2 2 1,3 1 0,2 3 2,3 2 0,2 2 1,2 1 2,3 3 0,2 1 1,3 1 0,1 3 1,2 1 1,3 2 0,1 2 2,3 2 0,1 1 2,3 1 1,2 2,3 0,3 2,3 0,2 2,3 1,3 2,3 1,2 1,3 0,3 1,3 0,2 1,3 1,3 0,1 2,3 2,3 0,1 1,3 1,3 2,3 0,3 1,3 0,1 2,3 0,2 0,3 0,3 1,3 0,1 0,3 0,3 2,3 1,2 1,3 0,1 2,3 0,2 1,2 0,3 1,3 0,1 1,2 0,3 2,3 0,2 1,3 0,1 0,2 1,3 2,3 0,1 2,3 1 2 3 1 3 2 3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1 3
QQ[p ..p , p , p , p , p , z ..z ]
0,1 0,2 1,2 0,3 1,3 2,3 1 3
o4 : Ideal of ----------------------------------------------
p p - p p + p p
1,2 0,3 0,2 1,3 0,1 2,3
i5 : netList decompose I
+----------------------------------------------------------------------+
o5 = |ideal (z , z - z , p , p + p , p + p , p - p , p )|
| 3 1 2 2,3 0,3 1,3 1,2 1,3 0,2 1,3 0,1 |
+----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z , z + z , p , p - p , p - p , p - p , p )|
| 3 1 2 2,3 0,3 1,3 1,2 1,3 0,2 1,3 0,1 |
+----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z , z - z , p , p + p , p - p , p , p - p )|
| 2 1 3 1,3 0,3 2,3 1,2 2,3 0,2 0,1 2,3 |
+----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z , z + z , p , p - p , p + p , p , p - p )|
| 2 1 3 1,3 0,3 2,3 1,2 2,3 0,2 0,1 2,3 |
+----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z - z , z , p + p , p , p , p - p , p + p )|
| 2 3 1 1,3 2,3 0,3 1,2 0,2 2,3 0,1 2,3 |
+----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z + z , z , p - p , p , p , p + p , p + p )|
| 2 3 1 1,3 2,3 0,3 1,2 0,2 2,3 0,1 2,3 |
+----------------------------------------------------------------------+
The variety consists of six points, each of which corresponds to a family of wave solutions. For example, the first one yields
\[\begin{split}\phi(x_1,\dotsc,x_4) = \delta(x_1 - x_2, x_3 - x_4) \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]
for any distribution \(\delta \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\).
If we perform the computation in the affine patch where \(p_{2,3} = 1\), only four of the solutions survive.
i6 : netList decompose wavePairs(A, 2, Patch => {2,3})
+-----------------------------------------------------------------------+
o6 = |ideal (z , z - z , p - 1, p , p + 1, p - 1, p , p - 1)|
| 2 1 3 2,3 1,3 0,3 1,2 0,2 0,1 |
+-----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z , z + z , p - 1, p , p - 1, p + 1, p , p - 1)|
| 2 1 3 2,3 1,3 0,3 1,2 0,2 0,1 |
+-----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z - z , z , p - 1, p + 1, p , p , p - 1, p + 1)|
| 2 3 1 2,3 1,3 0,3 1,2 0,2 0,1 |
+-----------------------------------------------------------------------+
|ideal (z + z , z , p - 1, p - 1, p , p , p + 1, p + 1)|
| 2 3 1 2,3 1,3 0,3 1,2 0,2 0,1 |
+-----------------------------------------------------------------------+