Example computationΒΆ

We replicate here Example 6.4 using the code described in Code and implementation.

We begin by defining our polynomial ring and matrix

i1 : load "makingWaves.m2";

i2 : R = QQ[x_1..x_4];

i3 : A = matrix{{x_1,x_2,x_3},{x_2,x_1,x_4},{x_3,x_4,x_1}}

o3 = | x_1 x_2 x_3 |
     | x_2 x_1 x_4 |
     | x_3 x_4 x_1 |

             3       3
o3 : Matrix R  <--- R

This corresponds to the PDE

\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{\partial \phi_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_2} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_3} = 0\\\frac{\partial \phi_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_1} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_4} = 0\\\frac{\partial \phi_1}{\partial x_3} + \frac{\partial \phi_2}{\partial x_4} + \frac{\partial \phi_3}{\partial x_1} = 0\end{aligned}\end{align} \]

for some distribution \(\phi \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C}^3\).

We can check that \(\mathcal{P}_A^0 = \mathcal{P}_A^1 = \emptyset\) using wavePairs(A,0) and wavePairs(A,1).

The first interesting case occurs when \(r = 2\).

i4 : I = wavePairs(A, 2)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              2                 2                          2      2                                                          2      2                                                          2      2                          2      2             2      2      3   2      3      2   3      2      2
o4 = ideal (p   z  + p   z , p   z  + p   z , p   z  + p   z , p   z  + p   z  + p   z , p   z  - p   z , p   z  + p   z , p   z  - p   z , p   z  + p   z  - p   z , p   z  - p   z , p   z  - p   z  - p   z , p   z  + p   z , p   z  - p   z , p   p    + p   p   , p   p    + p   p   , p   p    - p   p   , p   p    - p    - p   p    + p   , p   p    + p   p   , p    - p    - p   p   , p   p    - p   p   , p   p    - p   p   , p    - p    - p   p   , p   p    - p   p   , p   p    + p   p   , p    - p   , p   p    - p   p   , p    - p   , z z z , z z  + z z  - z , z z  - z  + z z , z  - z z  - z z )
             1,3 3    2,3 2   0,3 3    2,3 1   0,3 2    1,3 1   0,3 1    1,3 2    2,3 3   1,2 3    2,3 1   1,2 2    1,3 1   0,2 3    2,3 2   0,2 2    1,2 1    2,3 3   0,2 1    1,3 1   0,1 3    1,2 1    1,3 2   0,1 2    2,3 2   0,1 1    2,3 1   1,2 2,3    0,3 2,3   0,2 2,3    1,3 2,3   1,2 1,3    0,3 1,3   0,2 1,3    1,3    0,1 2,3    2,3   0,1 1,3    1,3 2,3   0,3    1,3    0,1 2,3   0,2 0,3    0,3 1,3   0,1 0,3    0,3 2,3   1,2    1,3    0,1 2,3   0,2 1,2    0,3 1,3   0,1 1,2    0,3 2,3   0,2    1,3   0,1 0,2    1,3 2,3   0,1    2,3   1 2 3   1 3    2 3    3   1 2    2    2 3   1    1 2    1 3

              QQ[p   ..p   , p   , p   , p   , p   , z ..z ]
                  0,1   0,2   1,2   0,3   1,3   2,3   1   3
o4 : Ideal of ----------------------------------------------
                      p   p    - p   p    + p   p
                       1,2 0,3    0,2 1,3    0,1 2,3

i5 : netList decompose I

     +----------------------------------------------------------------------+
o5 = |ideal (z , z  - z , p   , p    + p   , p    + p   , p    - p   , p   )|
     |        3   1    2   2,3   0,3    1,3   1,2    1,3   0,2    1,3   0,1 |
     +----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z , z  + z , p   , p    - p   , p    - p   , p    - p   , p   )|
     |        3   1    2   2,3   0,3    1,3   1,2    1,3   0,2    1,3   0,1 |
     +----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z , z  - z , p   , p    + p   , p    - p   , p   , p    - p   )|
     |        2   1    3   1,3   0,3    2,3   1,2    2,3   0,2   0,1    2,3 |
     +----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z , z  + z , p   , p    - p   , p    + p   , p   , p    - p   )|
     |        2   1    3   1,3   0,3    2,3   1,2    2,3   0,2   0,1    2,3 |
     +----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z  - z , z , p    + p   , p   , p   , p    - p   , p    + p   )|
     |        2    3   1   1,3    2,3   0,3   1,2   0,2    2,3   0,1    2,3 |
     +----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z  + z , z , p    - p   , p   , p   , p    + p   , p    + p   )|
     |        2    3   1   1,3    2,3   0,3   1,2   0,2    2,3   0,1    2,3 |
     +----------------------------------------------------------------------+

The variety consists of six points, each of which corresponds to a family of wave solutions. For example, the first one yields

\[\begin{split}\phi(x_1,\dotsc,x_4) = \delta(x_1 - x_2, x_3 - x_4) \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

for any distribution \(\delta \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\).

If we perform the computation in the affine patch where \(p_{2,3} = 1\), only four of the solutions survive.

i6 : netList decompose wavePairs(A, 2, Patch => {2,3})

     +-----------------------------------------------------------------------+
o6 = |ideal (z , z  - z , p    - 1, p   , p    + 1, p    - 1, p   , p    - 1)|
     |        2   1    3   2,3       1,3   0,3       1,2       0,2   0,1     |
     +-----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z , z  + z , p    - 1, p   , p    - 1, p    + 1, p   , p    - 1)|
     |        2   1    3   2,3       1,3   0,3       1,2       0,2   0,1     |
     +-----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z  - z , z , p    - 1, p    + 1, p   , p   , p    - 1, p    + 1)|
     |        2    3   1   2,3       1,3       0,3   1,2   0,2       0,1     |
     +-----------------------------------------------------------------------+
     |ideal (z  + z , z , p    - 1, p    - 1, p   , p   , p    + 1, p    + 1)|
     |        2    3   1   2,3       1,3       0,3   1,2   0,2       0,1     |
     +-----------------------------------------------------------------------+